Esfera

Representação plana de uma esfera.

Esfera em Rotação

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado pelo conjunto de pontos contidos num espaço P e C (centro), em que a distância do centro ao ponto P seja menor ou igual ao raio dessa esfera, ou semelhante ao ponto C . A esfera também pode ser vista como um sólido de revolução, obtido pela rotação completa de um semicírculo em torno do eixo que contém um diâmetro, isso se chama semicircuferência, que também pode ser realizado em outros tipos de formas geometrica.

Uma esfera é um objeto dimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma rolha ou de uma terra. Na física, esfera é um coiso (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade ou educado) capaz de colidir em outros objetos que ocupam espaço. Uma curiosidade que todos devem saber é que nem todo objeto redondo é uma esfera, ou seja , aquele que não tem nada dentro de si não é uma esfera é apenas uma demostração tipo bola de futebol, e exemplo de esfera é a terra , pois ela não é oca.
Em geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas retangulares) por uma equação do tipo em que a, b, c são os deslocamentos nos eixos x, y, z respectivamente, e r é o raio da esfera.

 Área e Volume

 

A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula:

O volume de uma esfera é dado pela fórmula

onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.

Cilindro

 

 

Um cilindro.

Em Matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
O cilindro é também definido através de uma superfície quádrica, cuja função geradora é:
Para o cilindro circular, os valores de a e b, na equação acima, são iguais.
Há também a possibilidade do cilindro circular ser chamado de cilindro equilátero. Tal denominação ocorre quando a sua altura, também chamada de geratriz, equivale ao diâmetro da base.

Área e volume

Se o cilindro tem um raio r e uma altura h concluímos que
O Seu volume é :


A área da sua base é :


Sua área lateral é :

E sua área total é :



Ou ainda :

 

 

Pirâmide

 

Pirâmide quadrangular

Pirâmide de Khephren, Egito

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O número de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base. Como exemplos das pirâmides da geometria espacial no dia-a-dia temos as pirâmides do Egito, uma das sete maravilhas do mundo antigo.
Uma pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas laterais são congruentes, caso contrário ela é classificada como oblíqua. Uma maneira mais fácil de identificar uma pirâmide reta é quando o centro da base da pirâmide está alinhado com o vértice superior da pirâmide, em outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro do polígono na base da pirâmide. Uma outra maneira fácil de identificar uma pirâmide oblíqua é quando não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a reta, ela não terminará no centro do polígono da base.

Exemplo de Pirâmide Triangular

Pirâmide regular

Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonal limitada por um polígono regular. Um polígono regular pode ser inscrito numa circunferência pegando assim, suas características. Assim, na base de uma pirâmide regular devemos observar certas características:

• raio (r)- é a reta traçada do centro do polígono até um dos vértices inferiores.
• aresta da base (ab) - corresponde aos lados do polígono da base.
• apótema da base (a1) - é a reta traçada do centro do polígono da base até o meio de sua aresta.

Em geral, na pirâmide regular, ainda podemos observar:

• altura da pirâmide (H) - é a reta traçada do vértice superior ao centro do polígono
• aresta lateral (al) - corresponde a aresta dos lados das regiões triangulares da lateral da pirâmide.
• apótema lateral (a2) - é a reta que divide o triângulo da lateral da pirâmide ao meio, formando dois triângulos retângulos simétricos. Ela sai do vértice percorrendo o triângulo lateral, acabando no fim das arestas da base.

 Área da superfície

Para o cálculo da área da superfície de uma pirâmide, calcularemos a área da base (A_b), a área das laterais (Al), e somaremos as duas, formando a área total (A_t). Quando sabe-se que os triângulos das laterais são equiláteros, usamos a fórmula dos triângulos equiláteros, mas caso não tenha sido dada nenhuma informação sobre esses triângulos, usaremos a fórmula de um triângulo qualquer que é onde b, é a base do triângulo, e h é a altura do triângulo, lembrando que, a altura do triângulo corresponde a apótema lateral da pirâmide. Para descobrir as medidas que não temos na pirâmide, mas são necessárias, usaremos suas características (raio, apótema da base, aresta da base, aresta lateral, altura da pirâmide, aresta lateral), para descobrir a medida dos outros através do teorema de Pitágoras, pois, poderemos observar a formação de triângulos retângulos na base da pirâmide, verticalmente dentro de uma pirâmide.

 Volume

Para o cálculo do volume de uma pirâmide usaremos uma fórmula fixa dada por : , em que Ab é a area da base da piramide e h é a altura da pirâmide.

 

Cubo

 

Um cubo.

Dados de 6 faces.

 

Um cubo é um hexaedro regular. É um dos cinco sólidos platónicos.
Tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

 Planificação do cubo

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas. E são elas:

Planos do Cubo

Área e volume

A área total A e volume V de um cubo de comprimento de aresta a são:

 Dual

O poliedro dual do cubo é o octaedro.

Octaedro

Tetraedo

Tetraedro

O tetraedro é um poliedro composto por quatro faces triângulares, três delas encontrando-se em cada vértice. O tetraedro regular é um sólido platônico, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.

Fórmulas para o tetraedro regular
Em um tetraedro regular cujas arestas medem

Área da base
Área da superfície[1]
Altura [2]
Volume[1]

Dual

O Poliedro dual do tetraedro é outro tetraedro..

 

Planificação

planificação de um tetraedro          

 

 Tetraedro na natureza

Numerosos minerais e compostos químicos têm uma estrutura tetraédrica.

Estrutura da molécula de metano

Poliedro

Poliedro

Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, cujos vértices são formados por três ou mais arestas em três ou mais dimensões (eixo dos "X", "Y", "Z",...) em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices.

Características
Trata-se de um objeto com muitas faces.

Um poliedro que tenha como faces apenas polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.
Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.
De um poliedro de Platão, exige-se que:

• Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
• Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Quantos são os poliedros de Platão?
Só existem cinco tipos de poliedros de Platão, regulares ou não, que são: 1. Tetraedro 2. Octaedro 3. Icosaedro 4. Hexaedro 5. Dodecaedro
Obs: Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prática, que não é possível fazê-lo nem com hexágonos, nem com polígonos que tenham mais do que seis lados.
Obs 2: Os poliedros podem ser convexos ou não-convexos.

• número de faces de um poliedro deve ser maior ou igual a 3.

 Teorema de Euler

Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação V – A + F = 2 Essa relação é verdadeira para todos os poliedros convexos.
Os poliedros regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII dos "Elementos" de Euclides (cerca de 300 a.C.) é inteiramente dedicado aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam, para cada um, a razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita.
Obs 3: A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é S = (V – 2).4r - Onde V é o número de vértices e r é um ângulo reto.
A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada pela expressão S = (V – 2).360 - O poliedro apresenta somente faces planas.

Sólidos Platônicos
São apenas cinco os poliedros regulares convexos ("Platônicos").^[1]

	Tetraedro	Hexaedro	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro.
Vértices	4	8	6	20	12
Arestas	6	12	12	30	30
Faces	4	6	8	12	20
Forma Face	Triângulo	Quadrado	Triângulo	Pentágono	Triângulo
Ângulo Diedro (1)	70°32'	90°	109°28'	116°34'	138°11'
Ângulo Central (2)	109°28'	70°32'	90°	41°49'	63º26'
Raio Insfera (3)	0,2141 A	0,5 A	0,4082 A	1,1135 A	0,7558 A
Raio (4) Meiosfera	0,3536 A	0,7071 A	0,5 A	1,3092 A	0,8090 A
Raio (5) Circunsfera	0,6124 A	0,8660 A	0,7071 A	1,4013 A	0,9511 A
Superfície	1,7321 A²	6 A²	3,4641 A²	20,6457 A²	7,6631 A²
Volume	0,1179 A³	A³	0,4714 A³	7,6631 A³	20,6457 A³
Altura	0,8165 A (V-F)	A (F-F)	0,7071A (V-V)	2,2270 A (F-F)	1,5116 A (F-F)

• A = comprimento da Aresta
• (1) - Ângulo diedro - ângulo entre duas faces
• (2) - Ângulo central - ângulo entre dois raios da Circunsfera tomados a partir de dois vértices de uma aresta
• (3) - Insfera - esfera interna ao Poliedro - tangente ao ponto central de todas as faces
• (4) - Meiosfera - esfera média ao Poliedro - tangente ao ponto médio de todas as arestas.
• (5) - Circunsfera - esfera externa ao Poliedro - tangente a todos os vértices.